makalaha geometri translasi tentang geseran dan translasi

KATA PENGANTAR

Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang, syukur Alhamdulillah kami ucapkan kehadirat Allah SWT. yang telah memberikan taufiq, hidayah, dan ma’una Nya kepada kami sehingga dengan bekal kemampuan yang ada pada kami, kami dapat menyelesaikan makalah Geometri Transformasi ini.

Makalah ini kami suguhkan kepada semua pembaca yang ingin mengetahui sekitar  Translasi (Geseran). Paling tidak makalah ini akan menjadi ilmu baru bagi para pembaca. Walaupun makalah ini belum sempurna tapi kami akan berusaha memperbaikinya pada makalah yang akan datang. Semoga saja makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Amiin

Kepada Allah kami bermohon semoga tetaplah tercurahkan ‘inayat-Nya dan memberikan taufiq-Nya kepada kami dan para pembaca.

Bandar Lampung, April 2014

                                                                        Penulis

DAFTAR  ISI

KATA PENGANTAR ..........................................................................  1

DAFTAR ISI .........................................................................................   2

BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ...................................................................................  3 
1.2 Rumusan Masalah ..............................................................................  3
1.3 Tujuan ...............................................................................................   3

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Ruas Garis Berarah  ...........................................................................  4

2.2 Pengertian Geseran atau Translasi  ..................................................  10

2.3 Rumus Geseran dalam Bidang Koordinat .......................................  13

BAB III KESIMPULAN .....................................................................  15

DAFTAR PUSTAKA

BAB I
PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Banyak besaran fisika, seperti luas, panjang, massa dan suhu, teruraikan secara lengkap ketika besar besaran tersebut diberikan. Besaran-besaran seperti itu disebut skalar. Besaran-besaran fisika lainnya, yang disebut vektor, tidak secara lengkap terdefinisikan sampai besar dan arahnya ditentukan. Vektor dapat disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang dimensi 2 dan ruang dimensi  3. Berkenaan dengan definisi vektor sebagai ruas garis berarah maka vektor menjadi pengantar untuk memperkenalkan definisi translasi (pergeseran).

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam makalah ini adalah:

1.      Definisi ruas garis berarah

2.      Operasi terhadap vektor

3.      Pengertian geseran atau translasi

4.      Rumus geseran dalam bidang koordinat

1.3 Tujuan

Tujuan dari makalah ini adalah:

a.       Siswa mampu memahami pengertian geseran atau translasi beserta teorema-teorema pada geseran.

b.      Siswa mampu membuktikan teorema pada geseran atau translasi

c.       Siswa mampu mengerjakan soal mengenai geseran atau translasi

BAB II
PEMBAHASAN

2.1  Ruas Garis Berarah

1.      Pengertian ruas garis berarah

Berkenaan dengan definisi geseran yang menggunakan istilah ruas garis berarah, maka perlu didefinisikan dan dijelaskan lebih dulu tentang ruas garis berarah.

Definisi :

Ruas garis berarah (vektor) adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah.

Disini dapat kita lihat bahwa suatu vektor hanya ditentukan oleh besar dan arahnya saja. Dengan demikian dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama itdak peduli letaknya dimana.

Suatu vektor secara geometri digambarkan sebagai suatu anak panah, diaman panjang anak panah menyatakan besarnya vektor sedang arah anak panah menunjukan arah vektor.

                                         B

   A

Titik A disebut titik pangkal vektor atau titik tangkap vektor.   
Titik B disebut ujung vektor.

Suatu vektor yang titik pangkalnya A dan titik ujungnya B ditulis  atau ditulis dengan huruf kecil bergaris  atau huruf kecil tebal a. Besar atau panjangnya vektor a ditulis

2.      Operasi Terhadap Vektor         \

Untuk memperoleh jumlah, atau resultante dua vektor u dan v, gerakanlah v tanpa mengubah besar dan arahnya hingga pangkalnya berimpit dengan ujung u maka u + v adalah vektor yang menghubungkan pangkal u dan ujung v.           
Cara ini disebut hukum segitiga. (lihat gambar dibawah)

                                 v                               

           u                  u + v                               

                     v

Cara lain melukis u+v adalah menggerakan v sehingga pangkalnya berimpit dengan pangkal u. Kemudian vektor u+v adalah vektor sepangkal dengan u dan yang berimpit dengan diagonal jajaran genjang yang sisinya adalah u dan v. Cara ini disebut hukum jajaran genjang. Seperti gambar dibawah ini.

 

                      u         u+v

                 

      v

            

             v

Dengan menggunakan gambar seperti diatas dapat dibuktikan bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif dan assosiatif, yaitu:

u + v = v + u dan

(u+v)+w = u+(v+w)

Selanjutnya jika u suatu vektor, maka 3u adalah vektor yang searah dengan u tetapi panjangnya tiga kali panjangnya u; vektor -2u adalah vektor yang arahnya berlawanan dengan arah u dan panjangnya dua kali panjang u. Secara umum, cu adalah kelipatan skalar vektor u, yang panjangnya adalah  kali panjang u, searah dengan u jika c positif, dan berlawanan arah apabila c negatif.

Khususnya (-1)u (juga ditulis  –u sama panjangnya dengan u arahnya berlawanan dengan u). Vektor ini disebut vektor negatif u sebab jika dijumlahkan dengan u hasilnya adalah vektor nol (yaitu suatu titik).

Vektor nol adalah satu-satunya vektor yang tanpa arah tertentu, dinamakan vektor nol dinotasikan dengan 0. Vektor ini merupakan unsur satuan penjumlahan yaitu u + 0 = 0 + u = u. Sehingga kita dapat mendefinisikan pengurangan sebagai : u - v = u + (-v).

3.      Pembahasan Vektor dengan Pendekatan Aljabar

Dari uraian terdahulu dengan pendekatan geometri dapat disimpulkan bahwa sebuah vektor adalah keluarga anak panah yang panjangnya dan arahnya sama. Sekarang kita akan membahas vektor secara aljabar. (lihat gambar dibawah)

   Y

                        (u₁ , u₂)

 

                                                          Y

Kita mulai dengan mengambil sebuah sistem koordinat cartesius pada bidang, sebagai wakil dari vektor u, kita pilih sebuah anak panah yang berpangkal dititik asal. Anak panah ini ditentukan secara tunggal oleh koordinat u₁ dan u₂ pada titik ujungnya; ini berarti bahwa vektor  u ditentukan oleh pasangan terurut <u₁ , u₂>.

Jadi selanjutnya kita anggap  <u₁ , u₂>  adalah vektor  u. Pasangan terurut <u₁ , u₂>  ini merupakan vektor secara aljabar. Kita gunakan simbol pasangan terurut <u₁ , u₂> karena (u₁ , u₂) sudah mempunyai pengertian tersendiri yaitu koordinat titik pada bidang.

4.      Panjang dan Hasil Kali Titik
Definisi :
Jika u dan v adalah vektor – vektor di ruang 2 dan ruang 3 dan q adalah sudut di antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam euclidis (Euclidean inner product) u.v diddefinisikan oleh
u.v =  êu êêv êcosq, jika u ¹ 0 dan v ¹ 0
0, jika u = 0 dan v = 0
êu êartinya panjang suatu vektor u dan didefinisikan sebagai  êu ê=   (jika di ruang2) dan êv ê=   (jika di ruang3). Panjang suatu vektor juga dikenal dengan norma. Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut ini.

                                                    Gambar Vektor di Ruang 2

Jika kita perhatikan, vektor u yang melalui titik asal tersebut membentuk sudut siku – siku terhadap sumbu x. Sisi miring atau êu êdapat dicari dengan menggunakan Rumus
Phytagoras, yaitu êu ê=  u₁² + u₂² = êu ê² = .

                                                Gambar Vektor di Ruang 3

Dengan Rumus Phytagoras juga diperoleh :
êu ê² =  (OR)² + (RP)²
        = (RS)² + (OS)² + (RP)²
        = (OQ)² + (OS)² + (RP)²
        = u₁² + u₂² + u₃²
êu ê² =

Contoh :
Andaikan u = (4, -3). Tentukan  êu ê dan ê-2u ê. Tentukan pula vektor yang searah dengan u tetapi dengan panjang 1.
Jawab:
 êu ê=  = 5 dan ê-2u ê= ê-2 êêu ê= 2.5 = 10
Vektor v yang searah dengan u dan panjangnya 1 yaitu vektor , karena panjang vektor
adalah  =   = 1
Sehingga v =  = (4, -3) / 5 = (4/5, -3/5).
Sifat – sifat pada perkalian titik vektor adalah sebagai berikut.
Misalkan u, v dan w adalah vektor di ruang2 atau ruang3 dan k adalah skalar maka:

1.      v.v = ² = = (v.v)^1/2
Bukti:
Karena vektor v berhimpit dengan vektor v itu sendiri maka adalah sudut di antara  v dan v adalah 0 diperoleh
v.v = êu ê êu êcos
    = êu ê² cos 0
        = êu ê²

2.      u. (v + w) = u.v + u.wu.(v + w) = (u₁, u₂, u₃).((v₁, v₂, v₃) + (w₁, w₂, w₃))
                 = (u₁, u₂, u₃).(v₁ + w₁, v₂ + w₂, v₃ + w₃)
                 = (u₁(v₁ + w₁) + u₂(v₂ + w₂)+ u₃(v₃ + w₃))
                 = ((u₁v₁ + u₁w₁) + (u₂v₂+ u₂w₂)+ (u₃v₃ + u₃w₃))
                 =   ((u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃) + (u₁w₁ + u₂w₂ + u₃w₃))
                 = (u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃) + (u₁w₁ + u₂w₂ + u₃w₃)
                 = u.v + u.w

3.      k(u.v) = (k.u).v = u(kv)
Bukti:
k(u.v)         = k((u₁, u₂, u₃).(v₁, v₂, v₃))
                   = k(u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃)
                   = (k(u₁ v₁) + k(u₂ v₂) + k(u₃ v₃))
                   = ((ku₁)v₁ + (ku₂)v₂ + (ku₃)v₃)      Asosiatif
                   = (ku).v
                   = (u₁(kv₁) + u₂(kv₂) + u₃(kv₃))      Komutatif
                   = u.(kv)

4.       0 . u = 0
Jika u dan v adalah vektor – vektor taknol dan adalah sudut di antara kedua      vektor tersebut, maka

  lancip jika dan hanya jika u.v > 0

  tumpul jika dan hanya jika u.v < 0

  =  jika dan hanya jika u.v = 0

Perlu diingat bahwa   akan lancip jika dan hanya jika cos   > 0,  akan    tumpul jika dan hanya jika cos   < 0 dan   akan =  (siku-siku) jika dan hanya jika cos  = 0. Karena êu ê  0 dan êu ê > 0 serta berdasarkan Definisi Dot Product bahwa u.v= êu ê êu ê cos, maka u.v memiliki tanda sama dengan cos. Karena , maka sudut  lancip jika dan hanya jika cos  > 0,   tumpul jika dan hanya jika cos  < 0, dan  =  jika dan hanya jika cos  = 0

5.      u.v = v.u  
Bukti :     
u.v  = (u₁, u₂, u₃).(v₁, v₂, v₃)        
       = (u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃)        
       = (v₁ u₁ + v₂ u₂ + v₃ u₃)      Komutatif          
       = (v₁, v₂, v₃).(u₁, u₂, u₃)        
       = v.u

Bentuk hasil kali titik u.v selain dari definisi di atas dapat juga dihitung dengan u . v = êu êêv êcos , dimana adalah sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v.
Dari rumus u.v = êu êêv êcos  tampak bahwa jika vektor u dan v saling tegak lurus, maka Ө = 90⁰ berarti cos Ө = 0  Sehingga diperoleh bahwa u.v = 0. Dari sini dapat disimpulkan bahwa dua vektor u dan v saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika u.v = 0

2.2  Pengertian Geseran/Translasi

Definisi:
Suatu pemetaan S disebut geseran/translasi, apabila terdapat suatu ruas garis berarah AB sedemikian sehingga untuk setiap titik P dalam bidang V berlaku S(P) = P’ dengan PQ = AB. Selanjutnya geseran dengan vektor AB dinyatakan sebagai S_AB.

 

                           A             P               S(P)=P’               B

Karena pengertian geseran didasarkan pada vektor, maka didapat suatu teorema:

a.       S_AB.= S_CD  jika dan hanya jika AB = CD

Bukti:

1.      S_AB.= S_CD  maka AB = CD

Ambil titik P dan kenakan S dengan vektor geser AB

Berarti S_AB(P) =  (P’) berarti AB = PP’

Karena S_AB.= S_CD  maka S_CD(P) =  (P’) berarti CD = PP’

Karena AB = PP’

                    CD = PP’

     Maka akibatnya AB = CD

2.      AB = CD maka S_AB.= S_CD 

Ambil P dan kenakan S_AB berarti S_AB(P) =  (P’) berarti AB = PP’

Karena AB = CD maka CD = PP’

Sehingga S_CD(P) =  (P’)

                                 S_AB(P) =  (P’)

      Maka akibatnya S_AB.= S_CD 

      Dari (1) dan (2) terbukti S_AB.= S_CD  maka AB = CD

 Ilustrasi:

 

                           A                                                   B

 

                  C                                                      D

b.      Misalkan tiga titik A, B, dan C tidak segaris.

S_AB.= S_CD  jika dan hanya jika CABD berupa jajaran genjang.

Bukti:

1.      S_AB.= S_CD  maka  CABD berupa jajaran genjang.

Dengan dalil 2.1 diperoleh bahwa jika S_AB.= S_CD  maka  AB = CD

Karena S_AB.= S_CD  maka  AB = CD berakibat AC = BD

Jadi CABD berupa jajaran genjang

2.      CABD jajaran genjang maka S_AB.= S_CD 

CABD jajaran genjang berarti terdapat 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang, yaitu AB = CD dan AC = BD

Karena AB = CD dengan dalil 2.1 (jika AB = CD  maka S_AB.= S_CD ) jadi S_AB.= S_CD

Dari (1) dan (2) terbukti bahwa S_AB.= S_CD  jika dan hanya jika CABD berupa jajaran genjang.

Catatan:

Geseran S_AB akan merupakan Identitas jika A = B. Jelas, bahwa oleh suatu geseran S_AB  bukan merupakan identitas, maka setiap titik pasti bukan titik tetap. Jadi tidak ada titik tetap dalam geseran yang bukan identitas. Tetapi geseran punya garis tetap, yaitu semua garis yang sejajar dengan vektor geserannya.

Selanjutnya dengan mudah dapat dibuktikan bahwa geseran merupakan transformasi dan inversnya juga merupakan geseran, yaitu:  (S_AB)^-1 = S_BA.

c.       Geseran adalah suatu isometri.

1.      S_AB(P) = P’ =>AB = PP’

S_AB(Q) = Q’ =>AB = QQ’

Akibatnya PP’ = QQ’

Akan dibuktikan P’Q’ = PQ

PP’ dan Q tidak segaris dengan dalil 2.2 PQQ’P’ jajar genjang berakibat P’Q’ = PQ = P’Q’ = PQ

2.      PP’ dan Q segaris

P’Q’ = PQ’ – PP’

         = PQ + QQ’ – PP’ karena PP’ = QQ’

Maka P’Q’ = PQ

Akibatnya P’Q’ = PQ

Jadi Geseran (S) adalah suatu isometri.

d.      Geseran mempertahankan arah garis.

e.       Hasil kali dua geseran S_AB dan S_CD  akan berupa suatu geseran S_PQ dengan PQ = AB + CD.

Q

Bukti:

T’

T

Ambil sebarang titik T di bidang V,

Akan dibuktikan bahwa S_CD ο S_AB(T) = S_PQ(T)

Misal T’ = S_AB(T) dan T’’ = S_CD(T’)

Maka TT’ = AB dan T’T’’ = TT’ + T’T’’

                                                   = AB + CD = PQ

Sehingga (T) = T’’ = S_AB+CD (T) = S_CD ο S_AB(T)

Terbukti S_CD ο S_AB(T) = S_PQ(T)

2.3  Rumus Geseran Dalam bidang koordinat

y

A                                                       P

x

Dari gambar dia atas menunjukan bahwa titik P di petakan p’ oleh suatu translasi. Misal
diberikan translasi dengan bentuk vektor yaitu yang menunjukan bahwa translasi Pp’ di hasilkan oleh 4 satuan secara horisontal ke kanan dan 5 satuan secara vertikal keatas. Dan dapat dimisalkan 4 satuan dengan h dan 5 satuan dengan k. Dari pernytaan tersebut dapat di simpulkan h searah dengan x dan k searah dengan y.
Catatan :Pergeseran ke arah kanan dan atas bertanda positif dan sedangkan pergeseran ke arah kiri dan bawah bertanda negatif.
Sehingga geseran PP’ dapat dinyatakan secara analitis sebagai berikut:
P(X,Y) P’(X’,Y’)
 P’(X’,Y’) =  (x + h , y + k)

Dengan diketahuinya rumus tersebut, dapat di katakan bahwa translasi adalah transformasi isometri yakni tidak adanya perubahan dalam bentuk dan ukuran oleh suatu translasi maka bangun dan bayangannya kongruen.

Bukti :
Misalkan translasi suatu transformasi dengan vektor AB, dimana vektor  AB (a,b).
Diketahui : P(x,y) dan Q (u,v), P,Q € V. Maka
 = (x + a , y + b ) dan  = (u + a, v + b), sehingga,

׀PQ׀   =

׀׀=
         ׀=
Jadi, terbukti bahwa translasi adalah isometri.

Teorema
Pada saat translasi AB ≠ I, tidak mempunyai titik tetap, semua garis yang sejajar akan menjadi garis tetap.
Bukti :
Akan dibuktikan tidak ada titik tetap secara analitis. Karena pergeseran AB  ≠ I berarti AB ≠ 0. Maka :  =  (x + a , y + b). Misal P(x, y) adalah titik tetap, maka berlaku x + a = x dan y + b = y. Berarti a = 0 dan b = 0. Ini berarti bertentangan dengan yang diketahui bahwa AB  ≠ 0. Jadi tidak mungkin terdapat titik tetap. Bukti bahwa garis yang sejajar  AB adalah garis tetap. Misalnya  h : px +qy +c merupakan garis tetap maka h = h’,  padahal berdasarkan definisi geseran, persamaan garis:

h’: p ( - a) + y( - b) + c atau p + q + c – ap – bq = 0
Agar h = h’  maka c – ap – bq = c atau Ap = - bq atau -  = gradien garis h. Ini berarti
garis h sejajar dengan AB. Sehingga terbukti bahwa garis yang sejajar dengan AB merupakan garis tetap.

BAB III

KESIMPULAN

Dari pembahasan diatas, maka dapat disimpulkan bahwa

Suatu pemetaan S disebut geseran/translasi, apabila terdapat suatu ruas garis berarah AB sedemikian sehingga untuk setiap titik P dalam bidang V berlaku S(P) = Q dengan PQ = AB. Selanjutnya geseran dengan vektor AB dinyatakan sebagai S_AB. Pengertian geseran didasarkan pada vektor sehingga didapat suatu teorema:

a.      S_AB.= S_CD  jika dan hanya jika AB = CD

b.      Misalkan tiga titik A, B, dan C tidak segaris

c.       Geseran adalah suatu isometri

d.      Geseran mempertahankan arah garis

e.       Hasil kali dua geseran S_AB dan S_CD  akan berupa suatu geseran S_PQ dengan PQ = AB + CD.

Dengan diketahuinya rumus  P’(X’,Y’)  =P’(x + h , y + k), dapat dikatakan bahwa translasi adalah transformasi isometri yakni tidak adanya perubahan dalam bentuk dan ukuran oleh suatu translasi maka bangun dan bayangannya kongruen.